线性代数-特征分解

特征值以及特征向量的定义

矩阵与维向量以及标量存在以下关系：

则称向量为矩阵的特征向量，为对应的特征值。

例如令，，则：

根据定义可以得到是的特征向量，而对应的特征值。

同时根据上述的定义，可得：

其中为单位阵。上述的结论可以用于求解特征值。

特征分解，谱分解 Eigendecomposition, Spectral Decomposition

如果为实对称矩阵，则为正交矩阵，即，此时有：

应用1-矩阵幂的求解

假设方阵与有如下关系：

那么显然可以通过来求解方阵，而直接求解的话，反正笔者是摸不着头脑的了。

但是矩阵分解后的特征值对角阵拥有良好的性质，对对角阵施加幂运算，可以直接对对角线元素直接做幂运算即可：

奇异值分解， Singular Value Decomposition

特征值分解只能针对方阵，因而对于一般的矩阵，更加实用的方法是SVD。

在实数域下，，其中方阵是对作特征分解得来的特征向量组成的矩阵，而是对作特征分解的来的特征向量，矩阵则是特征值矩阵。